¿QUE
ES LA PROGRAMACIÓN NO LINEAL?
La programación no lineal, implica minimizar o maximizar una función
objetivo no lineal sujeta a restricciones encuadernados, restricciones lineales
o restricciones no lineales, en los que las restricciones pueden ser las
desigualdades o igualdades.
IMPORTANCIA
DE LA PROGRAMACIÓN NO LINEAL
La programación no lineal, es de gran importancia ya que se utiliza para
la resolución de problemas de optimización en los que la función objetivo o las
restricciones no son lineales (cuadráticas, cúbicas, entre otros) pero también
son diferenciables las veces en que es necesaria para el establecimiento de
herramientas teóricas.
En la aplicación para los ingenieros
en sistemas podemos ver que en la ingeniería incluyen el análisis de
equilibrios de diseño, la selección de diseños óptimos, y la incorporación de
métodos de optimización de algoritmos y modelos.
Algunos de sus campos de aplicación son en producción industrial
definiendo los mínimos costes de producción o mayores beneficios, en logística donde
debe elegirse que medio o medios de transporte son más ventajosos y finanzas en
gestión de carteras buscando el máximo beneficio para una volatilidad dada, o
mínima volatilidad para una rentabilidad objetivo, como el modelo de Markowitz,
aunque sus aplicaciones a nivel global son infinitas.
CARACTERÍSTICAS
· El
tipo de función que maneja es cuadrática, convexas, cóncavas y polinómicas
· El
grado de la función F(x)>1. F(x) <1 o F(x)=1
· Tienen una gran amplia gama de
comportamientos y características de las funciones lineales.
· La información es limitada respecto al
problema, pues se desconoce la información sobre el punto actual.
TIPOS
DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN NO LINEAL
Se presentan de muchas formas distintas. Al contrario del método simplex
para programación lineal, no se dispone de un algoritmo que resuelva todos
estos tipos especiales de problemas.
1.
Optimización no restringida.
2.
Optimización linealmente restringida.
3.
Programación cuadrática
4.
Programación convexa.
5.
Programación separable.
6.
Programación no convexa.
7.
Programación geométrica.
8.
Programación fraccional.
Optimización
no restringida: Los problemas de optimización no
restringida no tienen restricciones, por lo que la función objetivo es
sencillamente Maximizar f(x), un problema que tiene algunas restricciones de no
negatividad y que no tiene restricciones funcionales es un caso especial (m=0)
de la clase de problemas.
Optimización
linealmente restringida: Este método se caracteriza por tener
restricciones que se ajustan por completo a la programación lineal, de manera
que todas las funciones de restricción g(x) son lineales, pero la función
objetivo es no lineal.
Programación
cuadrática: Este método tiene restricciones lineales,
pero ahora la función objetivo f(x) debe ser cuadrática.
Programación
separable: Es un caso especial de programación convexa, es una
función en la que cada termino incluye una sola variable, por lo que la función
se puede separar en una suma de funciones de variables individuales.
Programación
geométrica: Estas funciones por lo general no son ni
cóncavas ni convexas, por lo que las técnicas de programación convexa no se
pueden aplicar directamente a problemas de programación geométrica.
Programación
convexa: Abarca una amplia clase de problemas entre ellos como
casos especiales
Programación
no convexa: Incluye todos los problemas de
programación no lineal que no satisfacen las suposiciones de programación
convexa. En este caso, aun cuando se tenga éxito en encontrar un máximo local,
no hay garantía de que sea también un máximo global.
Programación
fraccional: Surgen cuando se maximiza la razón de la
producción entre horas-hombre empleadas (productividad), o la ganancia entre el
capital invertido (tasa de rendimiento), o el valor esperado dividido entre la
desviación estándar de alguna medida de desempeño. Un problema fraccional es
transformarlo en un problema equivalente de algún tipo estándar que disponga de
un procedimiento eficiente.
ILUSTRACIÓN
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN CONCAVA Y CONVEXA
FUNCIÓN
OBJETIVO
La función objetivo en la
programación no lineal, puede ser cóncavo o convexo. Es cóncavo cuando se trata
de maximizar utilidades, contribuciones, entre otros. Es convexo cuando trata
de minimizar recursos, costos, entre otros. Cuando un problema de programación
no lineal tiene solo una o dos variables, se puede representar gráficamente. El
área que delimita las soluciones factibles en un gráfico se presenta en forma
de curva.
Tipos de problemas sin
restricciones y con restricciones, veamos los siguientes ejemplos.
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